Question

7．设等差数列{a_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，公差为d．若数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$也是公差为d的等差数列，则{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{2n-1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d．a_n＞0.$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，化简n≠1时可得：a₁=（n-1）d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d-$\frac{n}{2}$d．分别令n=2，3，解出即可得出．

解答 解：由题意可得：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d．a_n＞0．
$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，可得：S_n=a₁+（n-1）²d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$（n-1）d．
∴na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=a₁+（n-1）²d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$（n-1）d．
n≠1时可得：a₁=（n-1）d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d-$\frac{n}{2}$d．
分别令n=2，3，可得：a₁=d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d-d，a₁=2d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d-$\frac{3}{2}$d．
解得a₁=$\frac{1}{4}$，d=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{2n-1}{4}$．
故答案为：$\frac{2n-1}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．