本题考查点、线、面间的距离的计算,考查空间想象力和等价转化能力,解题时要认真审题,仔细解答,注意化立体几何问题为平面几何问题.
(1)连接OC,由BO=DO,AB=AD,知AO⊥BD,由BO=DO,BC=CD,知CO⊥BD.在△AOC中,由题设知AO=1,CO= 3,AC=2,故AO
2+CO
2=AC
2,由此能够证明AO⊥平面BCD.
(2)利用等体积法得到点到面的距离的求解。
(3)取AC的中点M,连接OM、ME、OE,由E为BC的中点,知ME∥AB,OE∥DC,故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中,EM=1能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦.
解:(1)证明:在三角形ABC中,因为
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823225535930647.png)
,O是BD中点,
所以AO⊥BD,且
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823225535946824.png)
------------------2分
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232255359617120.png)
连结CO,在等边三角形BCD中易得
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823225535993532.png)
,
所以
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232255360081085.png)
所以AO⊥CO -----------------4分
因为CO∩BD=O,CO、BD
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823225536039205.png)
平面BCD
所以AO⊥平面BCD ---------------------6分
(3)分别取BC、AC的中点E、F,连结EF、EG
因为
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232255362891081.png)
所以∠FEO或其补角就是异面直线AB、CD所成的角---------8分
连结FO,因为AO⊥平面BCD,所以AO⊥CO,
所以在Rt△ACO中,斜边AC上的中线
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823225536305741.png)
,
又因为
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232255363201253.png)
,
所以在△EFO中,
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232255363511379.png)
因为
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823225536398620.png)
>0,所以异面直线AB、CD所成的角的余弦值是
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823225535899431.png)
---------14分