【题目】已知函数(
,
,
),
是自然对数的底数.
(Ⅰ)当,
时,求函数
的零点个数;
(Ⅱ)若,求
在
上的最大值.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ) ,
,由导数性质得
是(0,+∞)上的增函数,是(-∞,0)上的减函数,由此能求出f(x)的零点个数.
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,
,由导数性质得f(x)是[-1,0]上的减函数,[0,1]上的增函数,由此利用导数性质和构造法能求出a的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ),∴
,∴
,
当时,
,∴
,故
是
上的增函数,
当时,
,∴
,故
是
上的减函数,
,
,∴存在
是
在
上的唯一零点;
,
,∴存在
是
在
上的唯一零点,
所以的零点个数为2.
(Ⅱ)
,
当时,由
,可知
,
,∴
,
当时,由
,可知
,
,∴
,
当时,
,
∴是
上的减函数,
上的增函数,
∴当时,
,
为
和
中的较大者.
而,设
(
),
∵
(当且仅当
时等号成立),
∴在
上单调递增,而
,
∴当时,
,即
时,
,∴
.
∴在
上的最大值为
.
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【题目】已知直线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
,直线
与圆
交于
,
两点.
(1)求圆的直角坐标方程及弦
的长;
(2)动点在圆
上(不与
,
重合),试求
的面积的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系
下的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是
,射线
:
与曲线
交于点
与直线
交于点
,求线段
的长.
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【题目】定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2)时,f(x)= ,若x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≥
恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.[﹣2,0)∪(0,1)
B.[﹣2,0)∪[1,+∞)
C.[﹣2,1]
D.(﹣∞,﹣2]∪(0,1]
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【题目】已知椭圆:
的上下顶点分别为
,且点
.
分别为椭圆
的左、右焦点,且
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)点是椭圆上异于
,
的任意一点,过点
作
轴于
,
为线段
的中点.直线与直线
交于点
,
为线段
的中点,
为坐标原点.求
的大小.
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