Question

6．如图，已知△ABC内接于圆，AB=AC，过点B作此圆的切线，与AC的延长线交于点D，且BD=2CD．
（1）若△ABC的面积为$\sqrt{15}$，求CD的长；
（2）若过点C作BD的平行线交圆于点E，求$\frac{AB}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设CD=x，则BD=2x，由切割线定理BD²=CD•AD，解得AD=4x，AC=AB=3x．在△ABD中，利用余弦定理可得∠BAD，再利用三角形面积计算公式即可得出．
（Ⅱ）CE∥BD，可得∠BCE=∠CBD．利用切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理可得△CBD∽△BAD，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设CD=x，则BD=2x，
由切割线定理BD²=CD•AD，即（2x）²=x•AD，
解得AD=4x，∴AC=AB=3x．
在△ABD中，$cos∠BAD=\frac{{A{B^2}+A{D^2}-B{D^2}}}{2AB\;\;•\;AD}=\frac{7}{8}$，∴$sin∠BAD=\frac{{\sqrt{15}}}{8}$．
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB\;•\;ACsin∠BAC=\frac{{9\sqrt{15}{x^2}}}{16}$，
∴$\frac{{9\sqrt{15}{x^2}}}{16}=\sqrt{15}$，∴$x=\frac{4}{3}$，即$CD=\frac{4}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）∵CE∥BD，∴∠BCE=∠CBD．
∵BD为切线，∴∠BEC=∠CBD，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC．
∵∠CBD=∠BAD，∠D=∠D，
∴△CBD∽△BAD，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{CD}=2$，∴$\frac{AB}{BE}=2$．…（10分）

点评 本题考查了切割线定理、圆的性质、余弦定理、三角形面积计算公式、切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．