Question

17．若方程$\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-1}=1$所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜4；
②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若$1＜t＜\frac{5}{2}$，曲线C为椭圆，且焦点坐标为$（±\sqrt{5-2t}，0）$；若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为$\sqrt{1-t}$．
则为真命题的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-1＞0}\\{4-t≠t-1}\end{array}\right.$，求解不等式得答案；②由题意有（4-t）（t-1）＜0，求解不等式得答案；举例说明③错误；分别求出t在不同范围内的方程所表示的曲线，进一步求出椭圆的焦点坐标及双曲线的虚半轴长判断．

解答 解：①若C为椭圆，则$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-1＞0}\\{4-t≠t-1}\end{array}\right.$，解得1＜t＜4且t$≠\frac{5}{2}$，故①错误；
②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解得t＞4或t＜1，故②正确；
③当t=$\frac{5}{2}$时，曲线C是圆，故③错误；
④若$1＜t＜\frac{5}{2}$，曲线C为椭圆，此时a²=4-t，b²=t-1，则$c=\sqrt{5-2t}$，焦点坐标为$（±\sqrt{5-2t}，0）$；
若t＜1，曲线C为双曲线，方程为$\frac{{x}^{2}}{4-t}-\frac{{y}^{2}}{1-t}=1$，虚半轴长为$\sqrt{1-t}$，故④正确．
∴正确的命题是②④．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查圆锥曲线的方程与性质，是中档题．