Question

设函数f（x）=xe^kx（k≠0）和函数g（x）=x³+ax-b．
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）相切于点（1，g（1）），求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[-1，1]内单调递增，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出切线斜率为f′（0）=1，从而求出切线方程为：y=x，由题意得方程组，解出a，b的值即可；
（Ⅱ）先去导函数，再分别讨论①k＞0时，②k＜0时的情况，从而求出函数的单调区间；
（Ⅲ）由函数f（x）在区间[-1，1]单调递增，得出

h(-1)=-k+1≥0 h(1)=-k+1≥0

，解出k的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴切点为（0，0），
∵f′（x）=e^kx（kx+1），∴切线斜率为f′（0）=1，
故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=x，
又∵y=x与曲线g（x）相切于点（1，g（1）），
∴

g′(1)=3+a=1 g(1)=1+a-b=1

，解得：

a=-2 b=-2

．
（Ⅱ）由f′（x）＞0，得kx+1＞0，kx＞-1，
①k＞0时，x＞-

1

k

时，函数递增，k＜0时，x＜-

1

k

时递增；
由f′（x）＜0，得kx+1＜0，kx＜-1，
②k＞0时，x＜-

1

k

时，函数递减，k＜0时，x＜-

1

k

时递减；
综上：k＞0时，函数f（x）的增区间为（-

1

k

，+∞），减区间为（-∞，-

1

k

），
k＜0时，函数f（x）的增区间为（-∞，-

1

k

），减区间为（-

1

k

，+∞）；
（Ⅲ）函数f（x）在区间[-1，1]单调递增?x∈[-1，1]时，f′（x）=e^kx（kx+1）≥0恒成立，
?x∈[-1，1]时，h（x）=kx+1≥0恒成立?

h(-1)=-k+1≥0 h(1)=-k+1≥0

?-1≤k≤1，
而当k=1或k=-1时，f（x）均不是常函数，
函数f（x）在区间[-1，1]内单调递增，k的范围是[-1，1]．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查曲线的切线方程，考查分类讨论思想，是一道中档题．