Question

16．已知点A，B是圆O：x²+y²=36上的动点，函数y=log_a（x-3）（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，若|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$|，则平行四边形APBQ的顶点Q的轨迹方程为（　　）

• A． x²-y²=1
• B． x²+y²=56
• C． x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． y²=4x

Answer 1

分析 设出AB的中点R的坐标、Q的坐标，根据矩形的性质得|AR|=|PR|，利用两点间的距离公式列出方程，再由R是PQ的中点，利用中点坐标公式建立Q、R两点坐标的关系，代入方程化简即可．

解答 解：如图示：

函数y=log_a（x-3）（a＞0且a≠1）的图象横过点P，则P（4，0），
设AB的中点为R，则R也是PQ的中点，设R的坐标为（x₁，y₁），
若|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$|，则∠APB=90°，
因为R是弦AB的中点，所以依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$），
因为∠APB=90°，所以|AR|=|PR|=${{（x}_{1}-4）}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$，
所以（x₁-4）2+${{y}_{1}}^{2}$=36-（${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$），化简得${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$-4x₁-10=0，
设Q（x，y），因为R是PQ的中点，所以 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x+4}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
代入上式得，（$\frac{x+4}{2}$）²+${（\frac{y}{4}）}^{2}$-4×$\frac{x+4}{2}$-10=0，化简得x²+y²=56，
所求的Q点的轨迹方程是x²+y²=56，
故选：B．

点评 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点R的轨迹方程．欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题，属于难题．