Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），A（$\frac{1}{3}$，0）为f（x）图象的对称中心，若该图象上相邻两条对称轴间的距离为2，则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． （2k-$\frac{2}{3}$，2k+$\frac{4}{3}$），k∈Z
• B． （2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z
• C． （4k-$\frac{2}{3}$，4k+$\frac{4}{3}$），k∈Z
• D． （4kπ-$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z

Answer 1

分析 根据A（$\frac{1}{3}$，0）为f（x）图象的对称中心，求解φ，相邻两条对称轴间的距离为2，可得周期T，求出ω，即可求f（x）的单调递增区间．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ），
∵相邻两条对称轴间的距离为2，即周期T=2×2=4
由T=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=$\frac{π}{2}$．
∵A（$\frac{1}{3}$，0）为f（x）图象的对称中心，即0=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}×\frac{1}{3}$+φ），
可得：$\frac{π}{6}$+φ=kπ，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$），
∴φ=$-\frac{π}{6}$．
则f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x$-\frac{π}{6}$），
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$\frac{π}{2}$x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$4k-\frac{2}{3}≤x≤\frac{4}{3}+4k$．
故选：C．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用条件求解函数解析式是解决本题的关键．属于基础题．