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    【题目】如图，某市效外景区内一条笔直的公路经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向且距A 8 km处，且位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向 上，已知AB＝5 km，AD＞BD.

    (1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；

    (2)求∠ACD的正弦值．

    【答案】(1) 这条公路长为(4－3)km. (2)

    【解析】

    试题分析: （1）过点作于点，过点作，交的延长线于点，求的问题就可以转化为求 的度数或三角函数值的问题．

    (2)在中，由正弦定理可得 ，在 中 则由 即可得到 的正弦值．

    试题解析：( (1)△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8km，AB＝5km，设DB＝x km.

    则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.

    ∵4＋3＞8，舍去，∴x＝4－3，

    ∴这条公路长为(4－3)km.

    (2)在△ADB中，＝，

    ∴sin∠DAB＝＝，

    ∴cos∠DAB＝.

    在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，

    cos105°＝cos(60°＋45°)

    ＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝，

    sin105°＝sin(60°＋45°)＝，

    ∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]

    ＝sin(∠DAC＋105°)

    ＝sin∠DAC·cos105°＋cos∠DAC·sin105°

    ＝×＋×

    ＝.

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