Question

已知函数f（x）=ax-2lnx-

a

x

（I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=

2e

x

，若存在x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=

ax2-2x+a

x2

①若f′（x）≥0，则ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

2x

x2+2

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，∵

2

x+ 1 x

≤1，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；
②若f′（x）≤0，则ax²-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即a＜

2x

x2+2

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，∵

2

x+ 1 x

＞0，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；
综上，a≥1或a≤0；
（II）g（x）=

2e

x

在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．
①a≤0时，函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时f（x）_max=f（1）=0，不合题意；
②a≥1时，函数f（x）在[1，e]上是增函数，由题意，f（e）＞g（e）
∴a(e-

1

e

)-2＞2
∴a＞

4e

e2-1

；
②当0＜a＜1时，∵x-

1

x

≥0∴f（x）=ax-2lnx-

a

x

≤x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2＜2，不合题意
综上，a＞

4e

e2-1

．