Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|
（Ⅰ）若a=3，解不等式f（x）≥6；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥6对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）若a=3，不等式即|x+1|+|x-3|≥6，根据绝对值的意义求得|x+1|+|x-3|≥6的解集．
（Ⅱ）根据绝对值的意义，|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|，由|a+1|≥6，求得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）若a=3，不等式f（x）≥6，即|x+1|+|x-3|≥6．
根据绝对值的意义，|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1、3对应点的距离之和，
而数轴上-2 和4对应点满足对应点到-1、3对应点的距离之和正好等于6，
故|x+1|+|x-3|≥6的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）根据绝对值的意义，|x+1|+|x-a|表示数轴上的x对应点到-1、a对应点的距离之和，
它的最小值为|a+1|，
若不等式f（x）≥6对任意的实数x恒成立，则|a+1|≥6，求得a≥5，或a≤-7，
故实数a的取值范围为（-∞，-7]∪[5，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．