【题目】函数.
(1)当时,求方程
的根的个数;
(2)若恒成立,求
的取值范围.
注: 为自然对数的底数
【答案】(1)两个 (2)
【解析】
(1)转化为研究函数零点问题,利用导数研究其单调性,再根据零点存在定理确定零点个数;
(2)先转化为对应函数最值问题:,再令
,转化为解不等式
,最后根据导数研究新函数单调性,根据单调性解不等式得结果.
(1)当时,构造函数
,求导得:
,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增;
∵.
又∵,
∴,使
,即
存在两个零点
,
∴方程存在两个根.
(2),
i)当时,
,不合题意,舍去;
ii)当时,由
可得
,列表:
- | 0 | + | |
极小值 |
据表可得,,依题意有
令,则上式等价于
,等价于
,
构造函数,
记函数,易证得
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴,∴
,∴
在
上单调递增,注意到
,
∴.
综上所述,.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O,逆时针
分钟转一圈,从
处进入摩天轮的座舱,
垂直于地面
,在距离
处
米处设置了一个望远镜
.
(1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱分钟后,在座舱内向其母亲挥手致意,而其母亲则在望远镜
中仔细观看.问望远镜
的仰角
应调整为多少度?(精确到1度)
(2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带,发现取景的视角
恰为
,求绿化带
的长度(精确到1米)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(1)在曲线上任取一点
,连接
,在射线
上取一点
,使
,求
点轨迹的极坐标方程;
(2)在曲线上任取一点
,在曲线
上任取一点
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
分别是椭圆的左右焦点,过点
的直线交椭圆于
,
两点,且
的周长为12.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)过点作斜率为
的直线
与椭圆
交于两点
,
,试判断在
轴上是否存在点
,使得
是以
为底边的等腰三角形若存在,求点
横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知为等边三角形,
为等腰直角三角形,
,平面
平面ABD,点E与点D在平面ABC的同侧,且
,
.点F为AD中点,连接EF.
(1)求证:平面ABC;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆,线段
、
都是圆
的弦,且
与
垂直且相交于坐标原点
,如图所示,设△
的面积为
,设△
的面积为
.
(1)设点的横坐标为
,用
表示
;
(2)求证:为定值;
(3)用、
、
、
表示出
,试研究
是否有最小值,如果有,求出最小值,并写出此时直线
的方程;若没有最小值,请说明理由.
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