Question

13．若函数f（x）=ax³-x²+4x+3恰有三个零点，则实数a的取值范围是（-2，0）∪（0，$\frac{14}{243}$）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到a≠0，△＞0，令f′（x），求出方程f′（x）=0的根，通过通过a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：由题意可得：f′（x）=3ax²-2x+4，
若函数f（x）=ax³-x²+4x+3恰有三个零点，
则f′（x）=0有2个不相等的实数根，
故△=4-48a＞0，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{1-12a}}{3a}$，
a＞0时，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-12a}}{3a}$＜x₂=$\frac{1+\sqrt{1-12a}}{3a}$，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{1}）＞0}\\{f{（x}_{2}）＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{14}{243}$，
a＜0时，x₁=$\frac{1+\sqrt{1-12a}}{3a}$＜x₂=$\frac{1-\sqrt{1-12a}}{3a}$，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{1}）＞0}\\{f{（x}_{2}）＜0}\end{array}\right.$，解得：-2＜a＜0，
故答案为：（-2，0）∪（0，$\frac{14}{243}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．