Question

设非空集合S具有如下性质：

①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.

(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．

(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．

(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?

Answer 1

[解析]　(1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．

若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N_＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：

{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，

若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．

(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：

S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．

(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．