Question

（本小题满分14分）已知函数（a为常数），曲线y＝f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为－1．

（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）证明：当时，．

Answer 1

（Ⅰ） 函数在区间上单调递减，在上单调递增；

（Ⅱ） 详见解析；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，得．然后由题设列方程确定 的值并进一步利用导数的符号求出函数的单调区间；

（Ⅱ） 令，则 ，结合（I）的结果证明即可; （Ⅲ）构造函数 结合（II）的结果，利用导数证明，从而有即，由此构造一组不等式证明结论成立．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由，得．

又，所以．所以，．

由，得．

所以函数在区间上单调递减，在上单调递增． （4分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知．

所以，即，．

令，则．

所以在上单调递增，所以，即． （8分）

（Ⅲ）首先证明：当时，恒有．

证明如下：令，则．

由（Ⅱ）知，当时，，所以，所以在上单调递增，

所以，所以．

所以，即．

依次取，代入上式，则

，

，

．

以上各式相加，有

所以，

所以，即． （14分）

另【解析】
用数学归纳法证明（略）

考点：1、导数在研究函数性质中的应用．2、构造函数证明不等式．