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    【题目】新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.

    日期代码

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    累计确诊人数

    4

    8

    16

    31

    51

    71

    97

    122

    为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①，②对变量和的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差）：经过计算得，，，，其中，.

    （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；

    （2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留一位小数）；

    （3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数作出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少.

    附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

    【答案】（1）选择模型①，详见解析（2）（3）

    【解析】

    （1）根据残差图，估计值和真实值越接近，拟合效果越好，即可得解；

    （2）令，分别计算的平均数，根据公式求得，即可求出模型①对应点回归方程；

    （3）将代入回归方程，即可得解.

    （1）根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，

    模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好，

    所以选择模型①.

    （2）由（1），知关于的回归方程为，令，则.

    由所给数据得：，

    ，

    ，

    ，

    关于的回归方程为.

    （3）预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为（人）.

    练习册系列答案
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    （1）求椭圆的方程；

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    （2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.

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    【题目】某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数 (万人)与餐厅所用原材料数量 (袋)，得到如下统计表：

    第一次

    第二次

    第三次

    第四次

    第五次

    参会人数 (万人)

    13

    9

    8

    10

    12

    原材料 (袋)

    32

    23

    18

    24

    28

    （1）根据所给5组数据，求出关于的线性回归方程.

    （2）已知购买原材料的费用 (元)与数量 (袋)的关系为，

    投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润销售收入原材料费用).

    参考公式： ， .

    参考数据： ， ， .

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    【题目】某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩近似的服从正态分布．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：

    （1）求样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

    （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加三家公司的面试．

    用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；

    附：若随机变量，则，．

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    【题目】目前有声书正受着越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了名用户，统计出年龄分布和用户付费金额（金额为整数）情况如下图．

    有声书公司将付费高于元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在岁及以下的用户定义为“年轻用户”．已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”．

    （1）完成下面的列联表，并据此资料，能否有的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？

    爱付费用户

    不爱付费用户

    合计

    年轻用户

    非年轻用户

    合计

    （2）若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取人，再从这人中随机抽取人进行访谈，求抽取的人恰好都是“年轻用户”的概率．

    ．

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    （1）估计该校男生的人数；并求出值

    （2）估计该校学生身高在之间的概率；

    （3）从样本中身高在之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在之间的概率。

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    【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，点是的中点.

    求证：平面；

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    经计算： ， ， ， ， ， ， ，其中分别为试验数据中的温度和死亡株数， .

    （1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（结果精确到）；

    （2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且相关指数为.

    （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；

    （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）.

    附：对于一组数据， ，……， ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ；相关指数为： .

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