Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=1，平面向量

m

=（sin（π-C），cosC），

n

=（sin（B+

π

2

），sinB），且

m

•

n

=sin2A．
（Ⅰ）求△ABC外接圆的面积；
（Ⅱ）已知O为△ABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别为D、E、F，求

| OD |

cosA

+

| OE |

cosB

+

| OF |

cosC

的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,解三角形,直线与圆

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积，和已知等式化简整理可求得cosA的值，进而求得sinA的值，利用正弦定理求得外接圆的半径，通过圆的面积公式求得答案．
（Ⅱ）分别延长CO交圆于G点，圆内同弦对的∠A和∠G的角相同，进而根据OD∥BG，推断出∠G=∠DOC，进而推断∠BOD=∠A，在RT△BOD中表示出

OD

OB

=cos∠BOE，进而求得

| OD |

cosA

，同理求得

| OE |

cosB

，

| OF |

cosC

，最后相加即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=sin（π-C）•sin（B+

π

2

）+cosC•sinB=sinCcosB+sinBcosC=sin2A．
∴2sinAcosA=sin（B+C）=sinA，
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，
∴2cosA=1，即cosA=

1

2

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

∵2R=

a

sinA

=

2

3

，
∴R=

3

3

，S=πR²=

π

3

．
（Ⅱ）∵O为△ABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别为D、E、F，
延长CO交圆于G点，
∵CG为圆的直径，
∴∠CBG=90°，
OD⊥BC，
∴OD∥BG，
∴∠G=∠DOC，
∵∠A=∠G，∠DOC=∠BOD，
∴∠BOD=∠A，
∵

OD

OB

=cos∠BOE，
∴cosA=

OD

OB

，
∴

| OD |

cosA

=R，
同理可知

| OE |

cosB

=R，

| OF |

cosC

=R，
∴

| OD |

cosA

+

| OE |

cosB

+

| OF |

cosC

=3R=3×

3

3

=

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角形外接圆的相关问题．考查了学生基础知识的综合运用．