Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[-2，0]时，f（x）=（

2

2

）^x-1，若在区间（-2，6）内，函数y=f（x）-log_a（x+2），（a＞0，a≠1）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（1，4）
• B、（4，+∞）
• C、（

  1

  4

  ，1）∪（4，+∞）
• D、（0，1）∪（1，4）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：数形结合法,函数的性质及应用

分析：由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），推出函数f（x）是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（-2，6）内函数f（x）和y=log_a（x+2）的图象，注意对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合图象即可得到a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
又f（2+x）=f（2-x），
即f（x+4）=f（-x）
∴f（x+4）=f（x），
则函数f（x）是以4为最小正周期的函数，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（

2

2

）^x-1，
f（x）是定义在R上的偶函数，
∴当x∈[0，2]时，f（x）=（

2

2

）^-x-1，
结合题意画出函数f（x）
在x∈（-2，6）上的图象
与函数y=log_a（x+2）的图象，
结合图象分析可知，
要使f（x）与y=log_a（x+2）的图象，
恰有1个交点，
则有0＜a＜1或

a＞1 loga(2+2)＞1

，
解得0＜a＜1或1＜a＜4，
即a的取值范围是（0，1）∪（1，4）．
故选：D．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及对底数a的讨论，是一道中档题．