Question

3．已知函数$f（x）=3sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}}）$，x∈R．
（Ⅰ）列表并画出函数f（x）在$[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$上的简图；
（Ⅱ）若$f（α）=\frac{3}{2}$，$α∈[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$，求α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）列表，描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图；
（Ⅱ）由已知可得$sin（{\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}}）=\frac{1}{2}$，从而可求$\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}+2kπ$，或$\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{5π}{6}+2kπ$，（k∈Z），结合范围$α∈[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$，即可得解α的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由“五点作图法”列表如下：

x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
3sin（$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}$）	0	3	0	-3	0

…（3分）
图象如下：

…（6分）
（Ⅱ）由$f（α）=3sin（{\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}}）=\frac{3}{2}$，得$sin（{\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}}）=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}+2kπ$，或$\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{5π}{6}+2kπ$，（k∈Z）
即$α=\frac{5π}{6}+4kπ$，或$α=\frac{13π}{6}+4kπ$，…（9分）
又因为$α∈[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$，
所以k取0，得$α=\frac{5π}{6}$或$\frac{13π}{6}$．   …（12分）

点评 本题主要考查五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了正弦函数的图象和性质，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法，属于基础题．