Question

9．（1）计算：${8}^{\frac{2}{3}}$-$\sqrt{（\sqrt{2}-1）^{2}}$+2${\;}^{\frac{3}{2}}$+（$\frac{1}{3}$）⁰
（2）已知a＞0，且a-a^-1=3，求值：①a²+a^-2；$②\frac{{（a}^{3}+{a}^{-3}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{{a}^{4}-{a}^{-4}}$．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用分数指数幂的性质和运算法则直接求解．
（2）由a＞0，且a-a^-1=3，利用完全平方和公式和平方差公式及立方和公式能求出a²+a^-2和$\frac{{（a}^{3}+{a}^{-3}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{{a}^{4}-{a}^{-4}}$的值．

解答 解：（1）${8}^{\frac{2}{3}}$-$\sqrt{（\sqrt{2}-1）^{2}}$+2${\;}^{\frac{3}{2}}$+（$\frac{1}{3}$）⁰
=4-（$\sqrt{2}-1$）+2$\sqrt{2}$+1
=6+$\sqrt{2}$．
（2）∵a＞0，且a-a^-1=3，
∴①a²+a^-2=（a-a^-1）²+2=9+2=11．
$②\frac{{（a}^{3}+{a}^{-3}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{{a}^{4}-{a}^{-4}}$
=$\frac{（a+{a}^{-1}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-1）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{（a-{a}^{-1}）（a+{a}^{-1}）（{a}^{2}+{a}^{-2}）}$
=$\frac{（11-1）（11-3）}{3×11}$
=$\frac{80}{33}$．

点评 本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意分数指数幂的性质和运算法则、完全平方和公式和平方差公式及立方和公式的合理运用．