Question

如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC.∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；

(3)求四棱锥P－ACDE的体积．

Answer 1

[解析]　(1)在△ABC中，因为∠ABC＝45°，BC＝4，

AB＝2，

所以AC²＝AB²＋BC²－2AB·BC· cos45°＝8，

因此AC＝2，故BC²＝AC²＋AB²，

所以∠BAC＝90°.

又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，

所以CD⊥PA，CD⊥AC，

又PA，AC平面PAC，且PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC.

又CD平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAC.

(2)由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2.

又AC＝2，

因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)．

因为AC∥ED，CD⊥AC，

所以四边形ACDE是直角梯形．

因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，

所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，

故CD＝AE·sin45°＝2×＝，

所以D(－，2，0)．

因此直线PB与平面PCD所成的角为.

(3)因为AC∥ED，CD⊥AC，

所以四边形ACDE是直角梯形．

因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，

所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，

故CD＝AE·sin45°＝2×＝，

ED＝AC－AE·cos45°＝2－2×＝，

所以S_{四边形ACDE}＝×＝3.

又PA⊥平面ABCDE，

所以V_P－ACDE＝×3×2＝2.