【题目】已知数列{}的前n项和
(n为正整数)。
(1)令,求证数列{
}是等差数列,并求数列{
}的通项公式;
(2)令,
试比较
与
的大小,并予以证明.
【答案】(1)(2)当
,当
时
.
【解析】
试题分析:(1)已知,一般利用
进行化简条件,当
时,
,
,又
数列
是首项和公差均为1的等差数列,于是
.(2)由(1)得
,是等差乘等比型,所以其和求法为“错位相减法”, 即得
.数列中比较大小,一般用作差,即
,而比较
的大小,有两个思路,一是数学归纳法,二是二项展开式定理.
试题解析:(1)在中,令n=1,可得
,即
1
当时,
, 2
.
又数列
于是 .6
(2)由(1)得,所以
由①-②得
9
2
于是确定的大小关系等价于比较
的大小
猜想:当证明如下:
证法1:(1)当n=3时,由猜想显然成立.
(2)假设时猜想成立.即
则时,
所以当时猜想也成立
综合(1)(2)可知 ,对一切的正整数,都有
证法2:当时
综上所述,当,当
时
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【题目】空间中任意放置的棱长为2的正四面体.下列命题正确的是_________.(写出所有正确的命题的编号)
①正四面体的主视图面积可能是
;
②正四面体的主视图面积可能是
;
③正四面体的主视图面积可能是
;
④正四面体的主视图面积可能是2
⑤正四面体的主视图面积可能是
.
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【题目】已知为坐标原点,对于函数
,称向量
为函数
的伴随向量,同时称函数
为向量
的伴随函数.
(Ⅰ)设函数,试求
的伴随向量
;
(Ⅱ)记向量的伴随函数为
,求当
且
时
的值;
(Ⅲ)由(Ⅰ)中函数的图像(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的
倍,再把整个图像向右平移
个单位长度得到
的图像。已知
,问在
的图像上是否存在一点
,使得
.若存在,求出
点坐标;若不存在,说明理由。
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的极小值;
(Ⅱ)当时,过坐标原点
作曲线
的切线,设切点为
,求实数
的值;
(Ⅲ)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
:
,当
时,若
在
内恒成立,则称
为函数
的“转点”.当
时,试问函数
是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】设等差数列的前
项和为
,
,若
且
,数列
的前
项和为
,且满足
.
(Ⅰ)求数列的通项公式及数列
的前
项和
;
(Ⅱ)是否存在非零实数,使得数列
为等比数列?并说明理由.
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【题目】某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(I)求直方图中的a值;
(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由。
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