Question

1．已知函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x的图象做怎样的平移变换可以得到函数f（x）的图象；
（3）若方程$f（x）=m在[{-\frac{π}{2}，0}]$上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象得到振幅和A=2，ω=2，从而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，将点（$\frac{π}{12}$，2）代入得到φ=$\frac{π}{3}$．
（2）由条件利用两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
（3）通过正弦函数的图象和性质，数形结合可得，要有两个不相等的实根，即可求出m的取值范围得到表达式．

解答 解：（1）根据图象得到：A=2，由$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，可得T=π，
∴由$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
将点（$\frac{π}{12}$，2）代入得到2sin（$\frac{π}{6}$+φ）=2，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵y=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）]，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）]=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{4}$）]，
∴将函数y=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{4}$可以得到函数f（x）的图象．
（3）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
方程f（x）=m在区间∈[-$\frac{π}{2}$，0]内有两个不相等的实数根x₁，x₂，
如图：结合正弦函数的图象和性质，

∴要有两个不相等的实根，m∈（-2，-$\sqrt{3}$]．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质及其运用，本题考查函数与方程的综合运用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题．