Question

12．在平面直角坐标系xOy中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．已知点P（x，y）
是角θ终边上一点，|OP|=r（r＞0），定义f（θ）=$\frac{x-y}{r}$．对于下列说法：
①函数f（θ）的值域是$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$；
②函数f（θ）的图象关于原点对称；
③函数f（θ）的图象关于直线θ=$\frac{3π}{4}$对称；
④函数f（θ）是周期函数，其最小正周期为2π；
⑤函数f（θ）的单调递减区间是[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
其中正确的是①③④．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 由题意可得f（θ）=$\frac{x-y}{r}$，再利用函数的周期性、单调性的定义，函数的图象的对称性得出结论．

解答 解：由已知点P（x，y）是角θ终边上一点，|OP|=r=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$（r＞0），
定义f（θ）=$\frac{x-y}{r}$=$\frac{x-y}{\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}$，当x=-y＞0时，函数f（θ）取最大值为$\frac{2x}{\sqrt{2}x}$=$\sqrt{2}$；
当x=-y＜0时，f（θ）取最小值为 $\frac{2x}{-\sqrt{2}x}$=-$\sqrt{2}$，
可得f（θ）的值域是$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，故①正确．
由于-θ角的终边上对应点为P′（x，-y），|OP′|=r，∴f（-θ）=$\frac{x+y}{r}$，故 f（-θ）≠f（θ），
故f（θ）不是奇函数，故函数f（θ）的图象不关于原点对称，故排除②．
由于点P（x，y）关于直线θ=$\frac{3π}{4}$（即y=-x）的对称点为Q（-y，-x），故f（$\frac{3π}{2}$-θ）=$\frac{-y+x}{r}$=f（θ），
故函数f（θ）的图象关于直线θ=$\frac{3π}{4}$对称，故③正确．
④由于角θ和角2π+θ的终边相同，故函数f（θ）是周期函数，其最小正周期为2π，故④正确．
⑤在区间[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{3π}{2}$]上，x不断增大，同时y值不断减小，r始终不变，故f（θ）=$\frac{x-y}{r}$不断增大，故f（θ）=$\frac{x-y}{r}$是增函数，
故函数f（θ）在区间[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z上不是减函数，故⑤不对，
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查新定义，任意角的三角函数的定义，函数的周期性、单调性的定义，函数的图象的对称性，属于中档题．