Question

1．在数列{a_n}中，a₁=1，S_n+1=4a_n+2，则a₂₀₁₃的值为（　　）

• A． 3019×2²⁰¹²
• B． 3019×2²⁰¹³
• C． 3018×2²⁰¹²
• D． 无法确定

Answer 1

分析 由已知得a₂=3a₁+2=5，a₁+a₂+…+a_n+1=4a_n+2，a₁+a₂+…+a_n=4a_n-1+2，两式相减得到{a_n-2a_n-1}是等比数列，公比q=2，从而得到{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，公差d=$\frac{3}{4}$，n≥2，由此求出a_n=（3n-1）•2^n-2，从而能求出结果．

解答 解：∵在数列{a_n}中，a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
∴S₂=4a₁+2=a₁+a₂，∴a₂=3a₁+2=5，
a₁+a₂+…+a_n+1=4a_n+2，①
a₁+a₂+…+a_n=4a_n-1+2，②
①-②，得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴{a_n-2a_n-1}是等比数列，公比q=2，
a_n-2a_n-1=2^n-2•（a₂-2a₁）=3•2^n-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{4}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，公差d=$\frac{3}{4}$，n≥2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$=$\frac{3（n-2）}{4}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n-1}{4}$，∴a_n=（3n-1）•2^n-2，
∴a₂₀₁₃=（3×2013-1）•2²⁰¹¹=3019×2²⁰¹²．
故选：A．

点评 本题考查数列的第2013项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式和构造法的合理运用．