Question

已知数列{a_n}的前n项和s_n=a_n+n²-1，数列{b_n}满足3ⁿ•b_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，且b₁=3
（1）求a_n，b_n；
（2）设T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）n≥2时，sn=an+n2-1，sn-1=an-1+(n-1)2-1．两式相减即可得出．代入3ⁿ•b_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即可得出b_n．
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）n≥2时，sn=an+n2-1，sn-1=an-1+(n-1)2-1．
两式相减得a_n=a_n-a_n-1+2n-1，
∴a_n-1=2n-1，
∴a_n=2n+1，
∴3ⁿ•b_n+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3．
∴bn+1=

4n+3

3n

，
∴当n≥2时，bn=

4n-1

3n-1

，
又b₁=3适合上式，
∴bn=

4n-1

3n-1

．
（2）由（1）知，bn=

4n-1

3n-1

，
∴Tn=

3

1

+

7

3

+

11

32

+…+

4n-5

3n-2

+

4n-1

3n-1

，①

1

3

Tn=

3

3

+

7

32

+

11

33

+…+

4n-5

3n-1

+

4n-1

3n

  ②

①-②得

2

3

Tn=3+

4

3

+

4

32

+…+

4

3n-1

-

4n-1

3n

，
=3+4•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

4n-1

3n

=5-

5+4n

3n

，
∴Tn=

15

2

-

4n+5

2•3n-1

．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．