Question

（本题满分18分）在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线．

（1）求动点所在曲线的轨迹方程；

（2）设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；

（3）若直线与曲线交于两点，与线段交于点（点不同于点），直线与直线交于点，求证：是定值．

Answer 1

（1） ； （2） ； （3）定值为1；证明祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）求出N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到轨迹方程；

（2）设l：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，即可求得斜率，进而得到直线方程；

（3）求出HA，GB的方程，设出Q的坐标，由（2）得，P（0，-k），再由直线GB与直线HA交于点O，解得Q的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，即可得到定值1．

试题解析：（1）依据题意，可得点.

．

又，

.

所求动点的轨迹方程为.

（2）若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于轴．

设直线的斜率为，则．

由 得．

设点，有 且恒成立（因点在椭圆内部）．

又，

于是，，即，

解得．

所以，所求直线．

证明（3）直线与线段交于点，且与点不重合，

直线的斜率满足：．

由（2）可得点，

可算得．

又直线．

设点，则由得（此等式右边为正数）.

，且=．

，解得.

为定值.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.