Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

4

（a_n+1）²（n∈N^*）．
（1）求a₁、a₂；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）令b_n=a_n-19，问数列{b_n}的前多少项的和最小？最小值是多少？

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接在数列递推式中取n=1，2求解a₁、a₂；
（2）在数列递推式中取n=n-1，得另一递推式后作差，整理即可证明数列{a_n}是等差数列；
（3）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_n-19，得到数列{b_n}是等差数列，写出其前n项和公式，利用二次函数的性质求数列{b_n}前n项和的最小值．

解答： （1）解：由S_n=

1

4

（a_n+1）²，
取n=1得，a1=

1

4

(a1+1)2，即(a1-1)2=0，a₁=1．
取n=2得，a1+a2=

1

4

(a2+1)2，即a₂=-1（舍），或a₂=3；
（2）证明：由S_n=

1

4

（a_n+1）² ①
取n=n-1，得Sn-1=

1

4

(an-1+1)2 （n≥2）②
①-②得，an=

1

4

[(an+1)2-(an-1+1)2]，
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2 （n≥2）．
∴数列{a_n}是等差数列；
（3）由a₁=1，a_n-a_n-1=2 （n≥2）．
得a_n=1+2（n-1）=2n-1，
又b_n=a_n-19，
∴b_n=2n-1-19=2n-20，
∴b₁=-18，
又b_n+1-b_n=2（n+1）-20-2n+20=2，
∴数列{b_n}是首项为-18，公差为2的等差数列．
则其前n项和Tn=-18n+

2n(n-1)

2

=n2-19n．
对称轴方程为n=

19

2

，
∴数列{b_n}的前9项和等于前10项和且最小，最小值为10²-190=-90．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了利用数列的函数特性求数列前n项和的最值，是中档题．