Question

11．已知函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{a}{2}$在（1，+∞）上是增函数．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{a}{2}$在（1，+∞）上是增函数．则f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$≥0在（1，+∞）上恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{a}{2}$在（1，+∞）上是增函数．
∴f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
即x²+a≥0在（1，+∞）上恒成立，
即a≥-x²在（1，+∞）上恒成立，
由y=-x²在（1，+∞）上的最大值为-1得：a≥-1

点评 本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数法确定函数的单调性，恒成立问题，二次函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．