Question

5．定义运算$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc，已知函数f（x）=$|\begin{array}{l}{π}&{x+1}\\{x-1}&{x}\end{array}|$，且△ABC是锐角三角形，则下列不等式成立的是（　　）

• A． f（sinA）＞f（sinB）
• B． f（cosA）＞f（cosB）
• C． f（sinA）＞f（cosB）
• D． f（cosA）＞f（sinB）

Answer 1

分析 通过函数单调性和导数之间的关系，结合三角函数值的取值范围即可得到结论．

解答 解：∵△ABC为锐角三角形，
∴0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
即0＜π-A-B＜$\frac{π}{2}$，即A+B＞$\frac{π}{2}$，
∴B＞$\frac{π}{2}$-A，
∴0＜$\frac{π}{2}$-A＜B＜$\frac{π}{2}$，
即cos（$\frac{π}{2}$-A）＞cosB，
∴0＜cosB＜sinA＜1．
∵f（x）=$|\begin{array}{l}{π}&{x+1}\\{x-1}&{x}\end{array}|$=πx-（x+1）（x-1）=1+πx-x²，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）=π-2x＞0，
即函数f（x）在（0，1）上单调递增，
∴f（cosB）＜f（sinA），
故选：C．

点评 本题以行列式为载体，主要考查函数值的大小比较，根据函数的单调性以及三角函数值的大小关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．