Question

16．已知函数f（x）=|x-m|-2|x-1|（m∈R）
（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）通过令m=3，然后去绝对值符号，对于分段函数取最大值即可；
（2）通过对|x-m|≥2|x-1|两边平方，化简得[x-（2-m）][3x-（2+m）]≤0，比较2-m与$\frac{2+m}{3}$的大小，分类讨论即可．

解答 解：（1）当m=3时，f（x）=|x-3|-2|x-1|，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1，}&{x≥3}\\{-3x+5，}&{1＜x＜3}\\{x+1，}&{x≤1}\end{array}\right.$，
∴当x=1时，函数f（x）的最大值f（1）=1+1=2；
（2）∵f（x）≥0，
∴|x-m|≥2|x-1|，
两边平方，化简得[x-（2-m）][3x-（2+m）]≤0，
令2-m=$\frac{2+m}{3}$，解得m=1，
下面分情况讨论：
①当m＞1时，不等式的解集为[2-m，$\frac{2+m}{3}$]；
②当m=1时，不等式的解集为{x|x=1}；
③当m＜1时，不等式的解集为[$\frac{2+m}{3}$，2-m]．

点评 本题考查函数的最值，涉及到解含有绝对值符号的不等式等知识，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．