Question

1．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧棱与底面垂直，点E，F分别为棱BB₁，AC中点．
（1）证明：BF∥平面A₁CE；
（2）若AA₁=6，AC=4，求直线CE与平面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁C中点G，并连接FG，EG，能够证明四边形EBFG为平行四边形，从而得到BF∥EG，根据线面平行的判定定理即得BF∥平面A₁CE；
（2）作AB的垂线AH，从而可分别以AH，AB，AA₁三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求空间一些点的坐标设平面A₁EF．的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}F}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，可设直线CE与平面A₁EF所成角为θ，根据sin$θ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}＞|$即可求出答案．

解答 解：（1）证明：
如图，取A₁C中点G，连接FG，EG；
∵F为AC中点，E为BB₁中点；
∴FG∥AA₁∥BE，且FG=BE；
∴四边形BEGF为平行四边形；
∴BF∥EG，EG?平面A₁CE，BF?平面A₁CE；
∴BF∥平面A₁CE；
（2）在平面ABC内，过A作AH⊥AB，则三直线AH，AB，AA₁两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A₁（0，0，6），E（0，4，3），F（$\sqrt{3}，1，0$），C（$2\sqrt{3}，2，0$）；
设平面A₁EF的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{A}_{1}E}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{A}_{1}F}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=4y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}F}=\sqrt{3}x+y-6z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}z}\\{x=\frac{7\sqrt{3}}{4}z}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow{n}=（\frac{7\sqrt{3}}{4}，\frac{3}{4}，1）$；
$\overrightarrow{CE}=（-2\sqrt{3}，2，3）$，设直线CE与平面A₁EF所成角为θ，则：sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}＞$|=$\frac{6}{\sqrt{\frac{43}{4}}•\sqrt{25}}=\frac{12\sqrt{43}}{215}$；
∴直线CE与平面A₁EF所成角的正弦值为$\frac{12\sqrt{43}}{215}$．

点评 考查中位线的性质，线面平行的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，能求空间点的坐标，以及平面法向量的概念及求法，向量夹角余弦的坐标公式．