Question

11．已知不等式|x-4|+|3-x|＜a．
（1）当a=5时，解不等式；
（2）若不等式解集为空集，求a的取值范围；
（3）若不等式有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过分x≥4、4＞x＞3、x≤3三种情况去绝对值符号，解不等式即可；
（2）通过分x≥4、4＞x＞3、x≤3三种情况去绝对值符号，找出满足不等式无解的条件即可；
（3）通过不等式有解的对立事件是不等式无解，利用（2）即得结论．

解答 解：（1）当a=5时，原不等式即为|x-4|+|3-x|＜5．
①x≥4时原不等式即为（x-4）+（x-3）＜5，
化简得2x-12＜0，即x＜6，
此时不等式的解集为4≤x＜6；
②当4＞x＞3时原不等式即为（4-x）+（x-3）＜5，
化简得1＜5，即不等式的解集为全集，
此时不等式的解集为3＜x＜4；
③x≤3时原不等式即为（4-x）+（3-x）＜5，
化简得2x＞2，即x＞1，
此时不等式的解集为1＜x≤3；
综上所述，不等式的解集为：1＜x＜6；
（2）不等式解集为空集，即不等式无解，
①x≥4时原不等式即为（x-4）+（x-3）＜a，
∵函数f（x）=2x-7在x≥4上单调递增，
∴x=4时取最小值1，
若要求不等式无解，
则a小于或等于该最小值即可，即a≤1；
②当4＞x＞3时原不等式即为（4-x）+（x-3）＜a，即1＜a，
若要求不等式无解，则a≤1；
③x≤3时原不等式即为（4-x）+（3-x）＜a，即7-2x＜a，
∵当x≤3时，函数f（x）=7-2x单调递减，
∴在x=3时取最小值1，
若要求不等式无解，则a≤1，
综上所述：a≤1；
（3）若不等式有解，则a的范围为原范围的补集，即a＞1．

点评 本题考查不等式的解法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．