Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{2}$且a_n=$\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}\begin{array}{l}{\;}$ （n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，$\frac{a_1}{1}$+$\frac{a_2}{2}$+$\frac{a_3}{3}$+…+$\frac{a_n}{n}$-n＜$\frac{11}{16}$．

Answer 1

分析 （1）通过对${a_n}=\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}（n≥2，n∈N）$变形可知$\frac{n}{a_n}-1=\frac{1}{3}（\frac{n-1}{{{a_{n-1}}}}-1）$，进而计算可得结论；
（2）当n≥2时通过放缩可知$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$≤1+$\frac{1}{8×{3}^{n-2}}$，进而利用分组求和法计算即得结论．

解答 （1）解：∵${a_n}=\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}（n≥2，n∈N）$，
∴$\frac{n}{a_n}=\frac{n-1}{{3{a_{n-1}}}}+\frac{2}{3}$，即$\frac{n}{a_n}-1=\frac{1}{3}（\frac{n-1}{{{a_{n-1}}}}-1）$，
所以数列$\{\frac{n}{a_n}-1\}$是以$\frac{1}{a_1}-1$为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
又∵a₁=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{n}{a_n}-1=-{（\frac{1}{3}）^n}$，即${a_n}=\frac{{n{3^n}}}{{{3^n}-1}}$；
（2）证明：当n≥2时，$\frac{3^n}{{{3^n}-1}}=\frac{{{3^n}-1+1}}{{{3^n}-1}}=1+\frac{1}{{{3^n}-1}}≤1+\frac{1}{{{3^n}（1-\frac{1}{3^n}）}}≤1+\frac{1}{{{3^n}（1-\frac{1}{3^2}）}}≤1+\frac{9}{{8×{3^n}}}=1+\frac{1}{{8×{3^{n-2}}}}$，
$\begin{array}{l}\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+…+\frac{a_n}{n}-n\\=\frac{3}{{{3^1}-1}}+\frac{3^2}{{{3^2}-1}}+\frac{3^3}{{{3^3}-1}}+…+\frac{3^n}{{{3^n}-1}}-n\end{array}$
=$（1+\frac{1}{{{3^1}-1}}）+（1+\frac{1}{{{3^2}-1}}）+（1+\frac{1}{{{3^3}-1}}）+（1+\frac{1}{{{3^4}-1}}）…+（1+\frac{1}{{{3^n}-1}}）-n$
$≤\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8×3}+\frac{1}{{8×{3^2}}}+…+\frac{1}{{8×{3^{n-2}}}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{{\frac{1}{8}（1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}$
$≤\frac{1}{2}+\frac{3}{16}$=$\frac{11}{16}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查放缩法、分组求和法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．