Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞0），在同一周期内，当时，f（x）取得最大值3；当时，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得A=3，周期T=2（ ）=，∴ω=2．
由2×+φ=2kπ+，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ=，故函数f（x）=3sin（2x+）．
（Ⅱ）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，
故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．
（Ⅲ）∵时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点，故 sin（2x+）= 有2个实数根．
即函数y=sin（2x+）的图象和直线y= 有2个交点．
再由 2x+∈[-，]，结合函数y=sin（2x+）的图象可得 ∈[，1），解得 m∈[3+1，7），
即 实数m的取值范围是[3+1，7）．
分析：（Ⅰ）由题意可得A=3，根据周期T=2（ ）=，求得ω=2．由2×+φ=2kπ+，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ的值，从而求得函数的解析式．
（Ⅱ）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）函数y=sin（2x+）的图象和直线y=在上有2个交点，再由 2x+∈[-，]，y=sin（2x+）的图象可得 ∈[，1），由此求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．