Question

【题目】求所有的正整数、，使得是完全平方数．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

由

.

设，）．则

．

又.

设．则

.

于是，是完全平方数．

下面证明：不存在互质的正整数，，使得是完全平方数．

假设存在，不妨设是满足上述要求且使得其和最小的一组正整数．

因

，

且，知、不能同为偶数，所以，是奇数．

故

.

于是，与都是完全平方数．

由于与都是奇数，故可设

，

．

从而，，且．

于是，，一奇一偶（不妨设是偶数）．

记，，，（、、、为两两互质的正整数，且、都是奇数）．由对称性不妨设．

则由，得

.

又，，整理得

（1）若则

因为是奇数，所以，由，知是偶数，是奇数．

于是，，矛盾．

（2）由

．

又是奇数，可设

，，．

代入，得．

故正整数对使得是完全平方数．

由于，这与的最小性矛盾．

（3）由

，这与矛盾．

（4）由

，

这与矛盾．

综上，不存在互质的正整数、，使得是完全平方数．

故不存在正整数、，使得是完全平方数．