Question

【题目】在直角坐标系中，已知，为抛物线：上两点，为抛物线焦点.分别过，作抛物线的切线交于点.

（1）若，求；

（2）若，分别交轴于，两点，试问的外接圆是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设直线的方程为，与抛物线联立可得，由可得，可解出的值，然后由可得到答案；（2）设，可表示出直线的方程，令，可得，然后可以证明，即，同理可证明，则，，，四点共圆，即的外接圆过定点.

（1）由题意知直线的斜率存在，设其为，

则.

设，，则由根与系数关系有 ①

由可得 ②

结合①②可求得.

所以.

（2）的外接圆过定点，

抛物线方程为，求导得，设，

可知直线方程，

令，得，故，.

所以.

同理可得.

故，，，四点共圆，即的外接圆过定点.