Question

6．将正奇数组成的数列{a_n}，按下表排成5列：

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第一行		1	3	5	7
第二行	15	13	11	9
第三行		17	19	21	23
第四行	…	…	27	25

（Ⅰ）求第五行到第十行的所有数的和；
（Ⅱ）已知点A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…，A_n（a_n，b_n）在指数函数y=2^x的图象上，如果，以A₁，A₂，…，A_n为一个顶点，x轴y轴为邻边构成的矩形面积为S₁，S₂，…S_n，求S₁+S₂+…+S_n的值T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为{a_n}为等差数列，故a_n=1+（n-1）×2=2n-1，第五行的第一个数为a₁₇=1+（17-1）×2=33，由此推出结论．
（Ⅱ）将点A_n（a_n，b_n）代入函数y=2^x，利用乘公比错位相减求得Tn

解答 解：（Ⅰ）因为{a_n}为等差数列，故a_n=1+（n-1）×2=2n-1，第五行的第一个数为a₁₇=1+（17-1）×2=33
第十行的最后一个数为a₁₀=1+（40-1）×2=79，
故第五行到第十行的所有数字的和为33+35+…+79=$\frac{24（33+79）}{2}=1344$
（Ⅱ）因为A_n（a_n，b_n）在函数y=2^x图象上，故b_n=2a_n=2^2n-1，又因为a_n=2n-1，故S₁=a₁b₁=2，S₂=a₂b₂=3×2³=24，S_n=a_nb_n=（2n-1）×2 ^2n-1，
所以${T}_{n}={S}_{1}+{S}_{2}+…+{S}_{n}=1×2+3×{2}^{3}$+…+（2n-1）×2^2n-1①
$4{T}_{n}=1×{2}^{3}+3×{2}^{5}+…+（2n-3）{2}^{2n-1}$+…+（2n-1）2^2n-3②
①-②得-3Tn=2+2（2³+2⁵+…+2^2n-1）-（2n-1）×2^2n-3
=2（2+（2+2³+2⁵+…+2^2n-1）-（2n-1）×2^2n-1
=$2\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}-2=（2n-1）{2}^{2n+1}$
=$（\frac{10}{3}-4n）×{4}^{n}-\frac{10}{3}$
故$Tn=（\frac{4n}{3}-\frac{10}{9}）×{4}^{n}+\frac{10}{9}$

点评 本题主要考查乘公比错位相减的方法，属于中档题型，高考经常涉及此考点．