Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+a_n+1=3×2^n-1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1+$\sqrt{2}$，求证：数列{b_n}中任意三项均不成等比数列．

Answer 1

分析 （I）由a₁=1，a_n+a_n+1=3×2^n-1．可得a₂=2，a₃=4，a₄=8．猜想：a_n=2^n-1．再利用数学归纳法即可证明．
（II）b_n=log₂a_n+1+$\sqrt{2}$=n+$\sqrt{2}$．假设数列{b_n}中存在不同三项b_p，b_q，b_r（p，q，r为互不相等的正整数）成等比数列．可得${b}_{q}^{2}$=b_p•b_r，$（q+\sqrt{2}）^{2}$=（p+$\sqrt{2}$）（r+$\sqrt{2}$），经过化简得出矛盾即可得出结论．

解答 （I）解：由a₁=1，a_n+a_n+1=3×2^n-1．
可得a₂=2，a₃=4，a₄=8．
猜想：a_n=2^n-1．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁=1成立．
（2）假设n=k∈N^*时成立，即a_k=2^k-1．
则n=k+1时，a_k+1+a_k=3×2^k-1，可得a_k+1=2^k+1-1．
∴n=k+1时，猜想成立．
综上可得：?n∈N^*，a_n=2^n-1．
（II）证明：b_n=log₂a_n+1+$\sqrt{2}$=n+$\sqrt{2}$．
假设数列{b_n}中存在不同三项b_p，b_q，b_r（p，q，r为互不相等的正整数）成等比数列．
则${b}_{q}^{2}$=b_p•b_r，可得：$（q+\sqrt{2}）^{2}$=（p+$\sqrt{2}$）（r+$\sqrt{2}$），
∴（q²-pr）+（2q-p-r）$\sqrt{2}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}-pr=0}\\{2q-p-r=0}\end{array}\right.$，∴$（\frac{p+r}{2}）^{2}$=pr，即（p-r）²=0，解得p=r，与p≠r矛盾．
∴数列{b_n}中任意不同三项均不成等比数列．

点评 本题考查了数列递推关系、数学归纳法、等比数列的通项公式及其性质、方程的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．