Question

12．在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1℃变化到5℃，反应结果如表所示（t表示温度，y表示结果）：
（1）判断变量t与y之间的正相关还是负相关，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；
（2）求化学反应的结果y对温度t的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat{b}$t，并预测当温度到达10℃时反应结果为多少？

t	1	2	3	4	5
y	3	5	7	10	11

附：线性回归方程中$\widehat{y}$=$\widehat{b}$t+$\widehat{a}$，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{ty}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$．
相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，$\sqrt{2}$=1.41，$\sqrt{3}$=1.73，$\sqrt{7}$=2.65．

Answer 1

分析 （1）由题意求出$\overline{t}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}{t}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{t}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值，从而得到回归直线方程；即可判断正相关还是负相关
（2）代入t=10即可．

解答 解：由表中数据可得：$\overline{t}$=$\frac{1}{5}（1+2+3+4+5）$=3.$\overline{y}$=$\frac{1}{5}（3+5+7+10+11）$=7．
$\sum_{i=1}^{5}{t}_{i}^{2}$=1+4+9+16+25=55．
$\sum_{i=1}^{5}{t}_{i}{y}_{i}$=1×3+2×5+3×7+4×10+5×11=129．
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{ty}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$=$\frac{129-5×3×7}{55-5×9}=\frac{24}{10}=2.4$＞0，
故得变量t与y之间是正相关．
∴$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$=7-2.4×3=-0.2．
回归直线方程为：y=2.4t-0.2．
（2）当t=10时，预报y的值为y=10×2.4-0.2=23.8℃
答：当温度到达10℃时反应结果为大约23.8℃．

点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．