Question

已知|

a

|=4，|

b

|=8，|

a

+

b

|=4

3

．
（1）计算：

a

与

b

的夹角是θ；
（2）当k为何值时，（

a

+2

b

）⊥（k

a

-

b

）？

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据平面向量数量积的运算法则，求出向量

a

与

b

的夹角；
（2）由两向量的数量积等于0，得两向量垂直，求出k的值．

解答： 解：（1）∵|

a

|=4，|

b

|=8，|

a

+

b

|=4

3

，
∴(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=4²+2×4×8cosθ+8²=(4

3

)2；
∴cosθ=-

1

2

，
又∵θ∈[0，π），
∴θ=

2π

3

；
（2）∵（

a

+2

b

）•（k

a

-

b

）=k

a

2+（2k-1）

a

•

b

-2

b

2
=16k+2×4×8×（-

1

2

）×（2k-1）-2×64
=-48k-96=0，
∴k=-2；
即当k=-2时，（

a

+2

b

）⊥（k

a

-

b

．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用平面向量的数量积求夹角与判断垂直，是基础题目．