【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn..
【答案】(1)证明见解析, ;(2)
【解析】分析:(1)根据Sn+n=2an仿写可得Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2),两式相减变形后可得an+1=2(an-1+1)(n≥2),从而可得等比数列{an+1},进而可得数列{an}的通项公式.(2)由(1)可得bn=an+2n+1=2n+2n,然后利用分组求和法可得Tn.
详解:(1)∵Sn+n=2an,
∴Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2).
∴Sn-Sn-1=an=2an-1+1,
∴an+1=2(an-1+1)(n≥2),
又n=1时,S1+1=a1+1=2a1,
∴a1=1.
∴a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
∴,
∴an=2n-1.
(2)由(1)得bn=an+2n+1=2n+2n.
∴Tn=
.
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【题目】美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算,他们创造了优良的计数系统,其中开平方算法是最具有代表性的.程序框图如图所示,若输入a,n,ξ的值分别为8,2,0.5,(每次运算都精确到小数点后两位)则输出结果为( )
A.2.81
B.2.82
C.2.83
D.2.84
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【题目】已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD,线段MN是球O的一条动直径(M,N是直径的两端点),点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点,则 的取值范围是 .
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn , 数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3 .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=anbn , 设数列{cn}的前n项和为Tn , 求Tn .
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【题目】某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量,兑现奖惩,从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分(5分制),得到如下柱状图:
(1)从样本中任意选取2名学生,求恰好有一名学生的打分不低于4分的概率;
(2)若以这100人打分的频率作为概率,在该校随机选取2名学生进行打分(学生打分之间相互独立)记 表示两人打分之和,求 的分布列和 .
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【题目】某学生对函数的性质进行研究,得出如下的结论:
①函数在上单调递增,在上单调递减;
②点是函数图像的一个对称中心;
③存在常数,使对一切实数均成立;
④函数图像关于直线对称.其中正确的结论是__________.
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