Question

【题目】已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆的另一个焦点是，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，求的面积的最大值及此时内切圆半径.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积最大值为3，内切圆半径.

【解析】

(1)由已知可得,根据可得,将代入椭圆可得,从而可得,可得椭圆方程;

(2)根据可得,换元可得,根据单调性可求得面积的最大值为3,根据（为三角形内切圆半径）,可求得三角形内切圆半径.

（1）设椭圆方程为，.点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点.

∵.即,∴,所以,

又，

解得,

∴椭圆方程为.

（2）由（1）知，

设直线方程为，，，则

，消去得，

∴.

∴

,

令，则，∴.

令，，

当时，，在上单调递增，

∴，当时取等号，

即当时，的面积最大值为3.

过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为.

又（为三角形内切圆半径），

∴当的面积最大时,，得内切圆半径.