Question

12．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{2}{x}，x＞0\\ a{x^2}+\frac{b}{x}，x＜0\end{array}\right.$是奇函数，则f（a-b）=-$\frac{29}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，设x＞0，则-x＜0，由函数的解析式可得f（x）与f（-x），由函数的奇偶性可得-（x²+$\frac{2}{x}$）=ax²-$\frac{b}{x}$，分析可得a、b的值，即可得a-b的值，将a-b的值代入解析式计算可得答案．

解答 解：根据题意，函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{2}{x}，x＞0\\ a{x^2}+\frac{b}{x}，x＜0\end{array}\right.$，
设x＞0，则-x＜0，
则有f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，f（-x）=a（-x）²+$\frac{b}{（-x）}$=ax²-$\frac{b}{x}$，
又由函数f（x）为奇函数，
则有-（x²+$\frac{2}{x}$）=ax²-$\frac{b}{x}$，
分析可得a=-1，b=2，
则a-b=-3，
则f（a-b）=f（-3）=-f（3）=-（3²+$\frac{2}{3}$）=-$\frac{29}{3}$；
故答案为：-$\frac{29}{3}$．

点评 本题考查函数的奇偶性的性质，关键是利用奇偶性求出a、b的值．