Question

2．已知函数f（x）=x²-x³，g（x）=e^x-1（e为自然对数的底数）．
（1）求证：当x≥0时，g（x）≥x+$\frac{1}{2}$x²；
（2）记使得kf（x）≤g（x）在区间[0，1]恒成立的最大实数k为n₀，求证：n₀∈[4，6]．

Answer 1

分析 （1）构造函数h（x）=g（x）-x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，求出函数导函数，对导函数求导后可得导函数的单调性，进一步确定导函数的符号，得到函数h（x）的单调性，可得h（x）≥h（0）=0得答案；
（2）由（1）知，当kf（x）$≤x+\frac{1}{2}{x}^{2}$时，必有kf（x）≤g（x）成立，然后利用分析法证明当x∈[0，1]时，4f（x）$≤x+\frac{1}{2}{x}^{2}$，当k≥6时，取特值x=$\frac{1}{2}$说明不等式kf（x）≤g（x）在区间[0，1]上不恒成立，从而说明n₀∈[4，6]．

解答 证明：（1）设h（x）=g（x）-x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，即h（x）=${e}^{x}-1-x-\frac{1}{2}{x}^{2}$，
则h′（x）=e^x-1-x，h″（x）=e^x-1，
当x≥0时，h″（x）≥0，h′（x）为增函数，又h′（0）=0，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[0，+∞）上为增函数，则h（x）≥h（0）=0，
∴g（x）≥x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$；
（2）由（1）知，当kf（x）$≤x+\frac{1}{2}{x}^{2}$时，必有kf（x）≤g（x）成立．
下面先证：当x∈[0，1]时，4f（x）$≤x+\frac{1}{2}{x}^{2}$，
当x=0或1时，上式显然成立；
当x∈（0，1）时，要证4f（x）$≤x+\frac{1}{2}{x}^{2}$，即证4（x-x²）$≤1+\frac{1}{2}x$，
也就是证8x²-7x+2≥0．
∵$8{x}^{2}-7x+2=8（x-\frac{7}{16}）^{2}+\frac{15}{32}$＞0．
∴当k≤4时，必有kf（x）≤g（x）成立．
∴n₀≥4；
另一方面，当k≥6时，取x=$\frac{1}{2}$，kf（x）-g（x）=$\frac{k}{8}+1-\sqrt{e}≥\frac{7}{4}-\sqrt{e}$＞0，
∴当k≥6时，kf（x）≤g（x）不恒成立．
∴n₀≤6．
综上，n₀∈[4，6]．

点评 本题考查利用等式研究函数的单调性，训练了分析法证明函数不等式，体现了特值思想方法的应用，是中档题．