Question

已知函数f（x）=ax²+lnx（x＞0），g（x）=2x（x∈R），函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设f′（x）、h′（x）分别是f（x）、h（x）的导函数，若方程h′（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解，
①令函数m_n（x）=[f′（x）]ⁿ-f（xⁿ+

1

xn

），其中n∈N^*且n≥2.2函数y=m_n（x）在区间（0，+∞）上的最小值；
②求证：对任意的正实数x，都有

n

i=2

1

mi(x)

＜

5

6

．

Answer 1

分析：（1）把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）=f（x）-g（x）中得到h（x）的解析式，求出h′（x），由已知函数为增函数得到当x大于0时导函数恒大于等于0，解出2a大于等于一个函数，求出这个函数的最大值，列出关于a的不等式，求出a的范围即可；
（2）①令h′（x）=0，根据此方程有唯一的正实数解得到△=0，求出a的值，①求出m′_n（x），分解因式并把各项列举出来，当n大于等于3时，利用二项式定理判断导函数的正负即可得到函数的单调性，根据函数的增减性得到函数的最小值为m_n（1）；把n等于2代入函数解析式中得到m₂（x）的值也符合最小值的代数式，综上得到当n大于等于2.2时函数的最小值；
②根据①得到m_n（x）的最小值为2^x-2，当n大于等于3时求出倒数即可得到

1

mn(x)

小于等于

1

2n-2

，又放大不等式得到其值小于等于(

1

2

)n+(

1

4

)n-1，同时n等于2等于(

1

2

)n+(

1

4

)n-1，列举出不等式的左边各项，利用推出的不等式和等比数列的求和公式得证．

解答：解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=ax²+lnx-2x，
∴h′（x）=2ax+

1

x

-2．
由已知，当x＞0时，h′（x）=2ax+

1

x

-2≥0恒成立推出2a≥(

2

x

-

1

x2

) max．
易求当x＞0时，函数y=

2

x

-

1

x2

的最大值为1，
∴2a≥1，解得a≥

1

2

；

（2）h′（x）=2ax+

1

x

-2=0，即2ax²-2x+1=0有唯一正实数解．
由（1）知a≥

1

2

，∴△=4-8a=0解得a=

1

2

．
①m_n（x）=(x+

1

x

)n-（xⁿ+

1

xn

），
∴m′_n（x）=n(x+

1

x

)n-1（1-

1

x2

）-（nx^n-1-

n

xn+1

）
=n[

(1+x2)n-1(x2-1)

xn+1

-

x2n-1

xn+1

]
=n•

x2-1

xn+1

[（1+x²）^n-1-（x⁰+x²+x⁴+…+x^2n-2）]
当n≥3时，由二项式定理知（1+x²）^n-1＞x⁰+x²+x⁴+…+x^2n-2（x＞0）．
∴当x∈（0，1）时，m′_n（x）＜0，即函数y=m_n（x）在（0，1）上递减．
当x∈（1，+∞）时，m′_n（x）＞0，即函数y=m_n（x）在（1，+∞）上递增．
∴当n≥3时，函数y=m_n（x）的最小值为m_n（1）=2ⁿ-2．
又当n=2时，m₂（x）=2
∴函数y=m_n（x）的最小值为m_n（1）=2ⁿ-2；
②

1

mn(x)

≤

1

2n-2

=

1

2n-1

•

2n-1

2n-2

＜

1

2n-1

•

2n-1+2

2n

=

1

2n

（1+

1

2n-2

）=(

1

2

)n+(

1

4

)n-1（n≥3）．
当n=2时，

1

2n-2

=(

1

2

)n+(

1

4

)n-1
∴

n

i=2

1

mi(x)

＜

n

i=2

[(

1

2

)i+(

1

4

)i-1]=

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

+

1 4 [1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

=

1

2

-(

1

2

)n+

1

3

-

1

3

(

1

4

)n-1＜

5

6

点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定原函数的单调区间，会根据函数的增减性求出函数的最值，掌握导数在函数最值中的应用，灵活运用二次项定理及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道比较难的题．