Question

19．设f（x）为定义在R上的偶函数，但x≥0时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（2）求函数f（x）在R上的解析式，并画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的单调区间和值域．

Answer 1

分析 （1）因为f（x）为定义在R上的偶函数，但x≥0时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分，那么设出解析式，然后利用偶函数的对称性得到结论；
（2）将第一问的结论和条件合并得到分段函数的解析式，并作出图象； 
（3）根据图象法，可得函数f（x）的单调区间和值域．

解答 解：：（1）∵当x≥0时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分，
可设y=a（x-3）²+4，再把点A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a=-2，
∴y=-2（x-3）²+4（x≥0）．
∴由于函数f（x）在R上是偶函数，
∴当x＜0时，y=f（-x）=-2（-x-3）²+4=-2（x+3）²+4（x＜0）．
（2）函数f（x）在R上的解析式，y=$\left\{\begin{array}{l}{-2（x-3）^{2}+4}&{x≥0}\\{-（x+3）^{2}+4}&{x＜0}\end{array}\right.$，
函数f（x）的图象：

（3）由（2）可知：函数的单调递增区间为：（-∞，-3），（0，3）；
单调递减区间（-3，0），（0，+∞），
函数f（x）的值域（-∞，4）．

点评 本题考查了函数的奇偶性和二次函数的解析式的求解，以及函数的图象与单调性的综合运用，属于中档题．