Question

【题目】如图，正四面体底面的中心为，的重心为.是内部一动点（包括边界），满足，，不共线且点到点的距离与到平面的距离相等.

（1）证明：平面；

（2）若，求四面体体积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

1延长AG交BC于M，则M为BC的中点，由于O是的重心，从而，由此能证明平面OPG．

2作于Q点，可证得平面ABM，则，作P到底面上的投影H，则于，由三垂线定理得，从而，由椭圆的第二定义得P点的轨迹是以A为右焦点，直线CD为右准线的椭圆，由椭圆的对称性得当P与重合时，最大，由此能求出四面体体积的最大值．

（1）证明：如图，

延长AG交BC于M，则M为BC的中点，

由于O是的重心，则B、O、M共线，

且，

，

又A，P，G三点不共线，则P不在平面ABOG内部，

则平面OPG．

2作于Q点，

由，，得平面ABM，

又，则平面ABM，

则，

下面求PQ的最大值，

作P到底面上的投影H，

则于，

由三垂线定理得，

则，

由，得，

接下来，分析在平面ACD中的最小值，

由于，

由椭圆的第二定义得P点的轨迹是以A为右焦点，直线CD为右准线的椭圆，

由椭圆的对称性得当P与重合时，最大，

此时，设，则，

，

则，

，解得，

四面体体积．

四面体体积的最大值为．