Question

8．已知直线ax-y=0（a∈R）与圆C：x²+y²-2ax-2y+2=0交于A，B两点，C为圆心，若∠ACB=$\frac{π}{3}$，则圆C的面积为（　　）

• A． 8π
• B． 6π
• C． 4π
• D． 2π

Answer 1

分析 求出圆心C（a，1），半径R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，推导出△ABC是边长为R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$的等边三角形，圆心C（a，1）到直线ax-y=0的距离d等于$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，由此求出R，从而能求出圆C的面积．

解答 解：圆C：x²+y²-2ax-2y+2=0的圆心C（a，1），半径R=$\frac{1}{2}\sqrt{4{a}^{2}+4-8}$=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵直线ax-y=0（a∈R）与圆C：x²+y²-2ax-2y+2=0交于A，B两点，C为圆心，∠ACB=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是边长为R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$的等边三角形，
圆心C（a，1）到直线ax-y=0的距离d等于$\frac{\sqrt{3}R}{2}$=$\frac{\sqrt{3}•\sqrt{{a}^{2}-1}}{2}$，
即d=$\frac{|{a}^{2}-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}•\sqrt{{a}^{2}-1}}{2}$，解得a²=7或a²=1（舍），
∴R=$\sqrt{6}$
∴圆C的面积为S=πR²=6π．
故选：B．

点评 本题考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．