【题目】已知函数(
且
,
为自然对数的底数).
(1)若曲线在点
处的切线斜率为0,且
有极小值,
求实数的取值范围.
(2)当 时,若不等式:
在区间
内恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(Ⅰ)(﹣∞,0); (Ⅱ)1+e
【解析】试题分析:
(1)首先求解导函数,结合导函数与原函数的关系可得实数a的取值范围为(﹣∞,0);
(2)不等式等价于xf(x)﹣m(x﹣1)>e,构造新函数h(x)=lnx+ex﹣m(x﹣1) ,结合题意讨论新函数的性质可得实数的最大值为1+e.
试题解析:
(Ⅰ)
,
∵f′(e)=0,∴b=0,则
当a>0时,f′(x)在(0,e)内大于0,在(e,+∞)内小于0,
∴f(x)在(0,e)内为增函数,在(e,+∞)内为减函数,即f(x)有极大值而无极小值;
当a<0时,f(x)在(0,e)内为减函数,在(e,+∞)内为增函数,
即f(x)有极小值而无极大值.
∴a<0,即实数a的取值范围为(﹣∞,0);
(Ⅱ)xf(x)>e+m(x﹣1)xf(x)﹣m(x﹣1)>e,
当 a=1,b=﹣1 时,设h(x)=xf(x)﹣m(x﹣1)=lnx+ex﹣m(x﹣1).
则h′(x)= .
令t(x)=h′(x)= .
∵x>1,∴t′(x)= .
∴h′(x)在(1,+∞)内单调递增,
∴当x>1时,h′(x)>h′(1)=1+e﹣m.
①当1+e﹣m≥0时,即m≤1+e时,h′(x)>0,
∴h(x)在区间(1,+∞)内单调递增,
∴当x>1时,h(x)>h(1)=e恒成立;
②当1+e﹣m<0时,即m>1+e时,h′(x)<0,
∴存在x0∈(1,+∞),使得h′(x0)=0.∴h(x)在区间(1,x0)内单调递减,
在(x0 , +∞)内单调递增.由h(x0)<h(1)=e,
∴h(x)>e不恒成立.综上所述,实数m的取值范围为(﹣∞,1+e].
∴实数m的最大值为:1+e.
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【题目】已知函数,
(
)
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)证明:当时,函数
(
)有最小值.记
的最小值为
,求
的值域;
(Ⅲ)若存在两个不同的零点
,
(
),求
的取值范围,并比较
与0的大小.
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【题目】过点A(a,a)可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线,则实数a的取值范围为( )
A.a<﹣3或a>1
B.a<
C.﹣3<a<1 或a>
D.a<﹣3或1<a<
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【题目】函数f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)对任意x∈R,都有f(﹣x)+f(x)=0,f(x)+f(x+
)=0,则f(
)=( )
A.0
B.1
C.
D.2
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【题目】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成上面的列联表,若按
的可靠性要求,并据此资料,你是否认为“体育迷”与性别有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求
分布列,期望
和方差
.
附:
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【题目】设向量 =(sinx,cosx),
=(cosx,sinx),x∈R,函数f(x)=
(
﹣
).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[- ,
]时,求函数f(x)的值域.
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【题目】某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示:
(1)依据频率分布直方图,估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(2)已知在[90,100]段的学生的成绩都不相同,且都在94分以上,现用简单随机抽样方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数,求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.
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